• Κατηγορίες μεθόδων.
  
  
  
  • Αριθμητικός μέσος
    
  • Πολύγωνα Thiessen
    
  • Δύο άξονες (Bethlahmy’s)
    
  • Υψομετρική μέθοδος
    
  • Βέλτιστης παρεμβολής (Kriging)
    
  • Ελαχίστων τετραγώνων με πολυώνυμα
    
  • Πολυωνύμων Langrange
    
  • Παρεμβολή spline
    
  • Πολυτετραγωνικής παρεμβολής
    
  • Σταθμισμένων αντίστροφων αποστάσεων (Σ.Α.Α.).

• Η περιοχή ολοκλήρωσης διαμερίζεται σε ισομεγέθη στοιχειώδη κύτταρα ή ψηφίδες με την εφαρμογή ενός ορθογωνικού καννάβου. Για κάθε κύτταρο, υπολογίζεται η τιμή της μεταβλητής, η οποία αντιστοιχεί στο κέντρο του κυττάρου αλλά θεωρείται σταθερή για όλη την επιφάνεια του. Η επιφανειακή τιμή προκύπτει, τότε, ως ο μέσος όρος των τιμών όλων των κυττάρων. Η τιμή που ολοκληρώνεται μπορεί να είναι στιγμιαία, μέση ή αθροιστική για συγκεκριμένη χρονική διάρκεια.
  

• Οι μέθοδοι διακρίνονται:
  ακριβούς παρεμβολής (exact-interpolation methods) και
  εξομάλυνσης (smoothing methods), ανάλογα με το αν η κατασκευασμένη επιφάνεια διατηρεί ή όχι τις μετρημένες σημειακές τιμές.
  
  
• Μία δεύτερη κατηγοριοποίηση των μεθόδων είναι:
  στατιστικές – στοχαστικές (statistical – stochastic methods) και προσδιοριστικές (deterministic methods).
  Οι πρώτες βασίζονται στην αρχή να μειώνουν τα σφάλματα παρεμβολής στα σημεία επιφάνειας όπου δεν υπάρχουν σημειακές μετρήσεις, ενώ οι δεύτερες παράγουν επιφάνειες με την χρήση άλλων μαθηματικών κριτηρίων. Πλεονέκτημα των στατιστικών μεθόδων είναι ότι υπολογίζουν το σφάλμα παρεμβολής σε κάθε σημείο.
  
  

• Διάσταση καννάβου επιφάνειας.
  Η διάσταση συνήθως λαμβάνεται από 1/2 έως 1/10 της μέσης απόστασης μεταξύ των σημείων μέτρησης.
• Προσδιορισμός σημείων επιρροής κάθε ψηφίδας.
  Η επιλογή των σημείων που θα συμμετάσχουν στον υπολογισμό κάθε ψηφίδας γίνεται με δύο μεθόδους:
  (α) στον υπολογισμό της τιμής συμμετέχουν τα σημεία που βρίσκονται μέσα σε μια προκαθορισμένη και σταθερή ακτίνα και
  (β) ορίζεται ένας σταθερός αριθμός των πλησιέστερων σημείων που θα συμμετάσχουν στον υπολογισμό της τιμής.

• Εγκαθίσταται κάνναβος που καλύπτει την περιοχή μελέτης.
• Οι τιμές της μεταβλητής σε κάθε σημείο του καννάβου υπολογίζεται από τις μετρημένες τιμές με βάση τη σχέση:
  
  
  όπου :
• Pn η υπολογισμένη βροχόπτωση στο n σημείο του καννάβου,
  
• Pk η μετρημένη βροχόπτωση στο σημείο k,
  
• αnk το βάρος του σταθμού k για τον υπολογισμό του σημείου n και
  
• K ο συνολικός αριθμός των σημείων μέτρησης
  
  
• Οι περισσότερες μεθοδολογίες υπολογισμού θέτουν το άθροισμα των βαρών αnk να είναι ίσο με τη μονάδα
• Η μέση επιφανειακή βροχόπτωση P δίδεται από τις υπολογισμένες τιμές του
  καννάβου με τη χρήση της σχέσης:
  όπου : Ν ο συνολικός αριθμός των σημείων του καννάβου.
  
  Πλεονεκτήματα
  
  
• Άμεση δημιουργία της επιφάνειας της μεταβλητής για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο, ανεξάρτητα από την έλλειψη ορισμένων σημειακών μετρήσεων.

• Καλύτερη αντίληψη της γεωγραφικής κατανομής της μεταβλητής.

• Δυνατότητα στατιστικής επεξεργασίας πολλών τέτοιων καννάβων που αφορούν στην ίδια μεταβλητή και χρονικό βήμα.

• Δυνατότητα χειρισμού τέτοιων επιφανειών σε συνδυασμό με άλλες επιφάνειες της ίδιας διακριτότητας που αφορούν μορφολογικά, εδαφολογικά ή γεωλογικά χαρακτηριστικά της περιοχής με σκοπό τη δημιουργία μοντέλων βροχής – απορροής σε υδρολογικές λεκάνες.

Γενικά

Οι προσδιοριστικές μέθοδοι προσαρμόζουν έναν τύπο επιφάνειας σε ένα σύνολο μετρημένων τιμών της μεταβλητής σε συγκεκριμένες γεωγραφικές συντεταγμένες.

Διάφορες μαθηματικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται για να προσαρμόσουν την επιφάνεια στα μετρημένα σημεία και όταν γίνει αυτό είναι δυνατός ο υπολογισμός της μεταβλητής σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου.

Εάν τα σημειακά δεδομένα θεωρούνται ως ακριβείς τιμές της μεταβλητής τότε επιλέγεται ένα σχήμα ακριβούς παρεμβολής, (η επιφάνεια διατηρεί τις μετρημένες σημειακές τιμές), ενώ αν τα δεδομένα περιέχουν ένα σημαντικό σφάλμα μέτρησης επιλέγεται ένα σχήμα εξομάλυνσης.

Μέθοδοι εξομάλυνσης: πολυωνυμική, υψομετρική και των ελαχίστων τετραγώνων.

Μέθοδοι παρεμβολής: spline, πολυτετραγωνική και σταθμισμένων αντίστροφων αποστάσεων (ΣΑΑ).

Ο συντελεστής βαρύτητας σε ένα σταθμό g=s για ένα στοιχείο j=r δίνεται με βάση τη σχέση:

       

Όπου:
d(r,s) είναι η απόσταση ανάμεσα στο στοιχείο και το σταθμό
G ο αριθμός των σταθμών που συμμετέχουν
h1,h2,h3,…hN οι σημειακές μετρήσεις στα σημεία 1,2,3,…,Ν
h η εκτιμημένη τιμή
b ο συντελεστής επιρροής της απόστασης

Η τιμή του εκθέτη k συνήθως λαμβάνεται 1 ή 2 [Dingman, 1994].

• Πολυτετραγωνικής παρεμβολής. Η τιμή της μεταβλητής στο τυχόν σημείο της επιφάνειας υπολογίζεται με βάση τις αποστάσεις του σημείου από τυχόν γειτονικούς σταθμούς. Ειδικότερα, εξίσωση της επιφάνειας της μεταβλητής προκύπτει ως άθροισμα των επιρροών των γειτονικών σταθμών, όπου κάθε επιρροή περιγράφεται μαθηματικά από μια ορθή κωνική επιφάνεια με κατακόρυφο άξονα τοποθετημένο στη θέση καθενός σταθμού.
  
  
• Ελάχιστων τετραγώνων με πολυώνυμα. Η μέθοδος στηρίζεται στην επιλογή ενός πολυωνύμου δεδομένου βαθμού, το οποίο εκφράζει τη μεταβλητή συναρτήσει των τοπογραφικών συντεταγμένων x και y των σημείων της περιοχής. Η εκτίμηση των συντελεστών του πολυωνύμου γίνεται σε τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το σφάλμα προσαρμογής στα μετρημένα σημεία γνωστού ύψους βροχής (πρόκειται για μέθοδο εξομάλυνσης).
  xxxx4
• Πολυωνύμων Lagrange. Είναι παραπλήσια με την προηγούμενη, αλλά ο αριθμός των πολυωνυμικών όρων είναι ίσος με τον αριθμό των σημειακών μετρήσεων, οπότε η πολυωνυμική έκφραση διέρχεται ακριβώς από τα σημεία μέτρησης (πρόκειται για μέθοδο ακριβούς παρεμβολής). Κύριο μειονέκτημα ο μεγάλος βαθμός του πολυωνύμου, που μπορεί να προκαλεί αδικαιολόγητα υψηλές διακυμάνσεις της επιφάνειας από θέση σε θέση.
  
• Προσαρμογή spline. Προσαρμόζονται τοπικές πολυωνυμικές εκφράσεις παρεμβολής μικρού βαθμού, αποφεύγοντας έτσι το πρόβλημα των πού υψηλών διακυμάνσεων της επιφάνειας.

Γεωστατιστικής

Σημαντικό πλεονέκτημα των γεωστατιστικών μεθόδων είναι το γεγονός ότι ποσοτικοποιούν και τελικά ελαχιστοποιούν το σφάλμα εκτίμησης. Ωστόσο, οι μέθοδοι είναι αρκετά πολύπλοκες στην εφαρμογή τους, η οποία προϋποθέτει τη χρήση κατάλληλων υπολογιστικών προγραμμάτων.

Η γεωστατική ανάλυση περιλαμβάνει δύο κύριες φάσεις:
(α) την χωρική ανάλυση που περιλαμβάνει την επιλογή και προσαρμογή ενός μοντέλου που περιγράφει την χωρική μεταβλητότητα των σημειακών μετρήσεων,
και
(β) την βέλτιστη γραμμική αμερόληπτη εκτίμηση (best linear unbiased estimation –BLUE) που σχετίζεται με τον υπολογισμό των εκτιμητριών των αγνώστων ως γραμμικών συναρτήσεων των μετρήσεων. Οι εκτιμήτριες είναι αμερόληπτες, έχουν την ελάχιστη μεταβλητότητα, ενώ για τον υπολογισμό τους χρησιμοποιείται η μοντελοποίηση της χωρικής μεταβλητότητας.

Χωρική μεταβλητότητα

Η βασική αρχή των διαφόρων μεθόδων παρεμβολής είναι η παραδοχή ότι στις κοντινές αποστάσεις οι τιμές της μεταβλητής μοιάζουν περισσότερο από ότι στις μακρινές. Για να προσδιοριστεί η ισχύς αυτής της υπόθεσης και το πώς αυτή η «ομοιότητα» μεταβάλλεται συναρτήσει της απόστασης, πραγματοποιείται διερευνητική ανάλυση των χωρικών δεδομένων.
Η χωρική συσχέτιση συνήθως εξετάζεται με τη μέθοδο της ημιδιασποράς που είναι ένα μέτρο του βαθμού της χωρικής συσχέτισης των σημειακών μετρήσεων και δίνεται από τη σχέση:

όπου:
m ο αριθμός των ζευγών με απόσταση h
z(xi) η τιμή της μεταβλητής στη θέση i
z(xi+h) η τιμή της μεταβλητής σε απόσταση h από τη θέση i

Η εκτίμηση της τιμής της συνάρτησης z(x) σε μία θέση που δεν υπάρχει μέτρηση x0, με βάση τις παρατηρήσεις z(x1), z(x2),…,z(xn) γίνεται χρησιμοποιώντας μια γραμμική εκτιμήτρια:

όπου: λi είναι τα βάρη.

Ο τύπος αυτός εκτιμήτριας χρησιμοποιείται συχνά στις προσδιοριστικές μεθόδους (Thiessen, IDW), ενώ πολλές μεθοδολογίες εφαρμόζονται για τον προσδιορισμό των βαρών, το άθροισμα των οποίων τίθεται συνήθως ίσο με 1.

Τα βάρη επιλέγονται έτσι ώστε:

• Το σφάλμα εκτίμησης (εκτιμημένη τιμή μείον την αληθινή άγνωστη τιμή) πρέπει
  κατά μέσο όρο να είναι μηδέν (αμεροληψία)
  
• Πρέπει να ελαχιστοποιείται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα

Η ανάλυση με την κατάρτιση ημιμεταβλητογράμματος εφαρμόζεται στην περίπτωση που διατίθενται σημειακές μετρημένες τιμές της μεταβλητής z(x), όπου το x συμβολίζει ένα διανυσματικό σύστημα δύο διαστάσεων.
Σε ένα πλήθος n σημειακών μετρήσεων στο χώρο μπορούν να υπολογιστούν n*(n-1)/2 ζεύγη από τη διαφορά [z(xi)-z(xj)]2 και την απόσταση |xi- xj|. Η σχεδίαση της διαφοράς αυτής συναρτήσει της απόστασης, είναι το πρωτογενές (raw) ημιμεταβλητόγραμμα.
Για κατάρτιση του πειραματικού (experimental) ημιμεταβλητογράμματος απαιτείται η κατάτμηση του άξονα των αποστάσεων σε διαδοχικά διαστήματα. Το κ διάστημα είναι [h1κh2κ] και περιέχει Νκ ζεύγη τιμών z(xi) και z(xj) για τα οποία ισχύει h1κ< |xi- xj|<h2κ. Για κάθε διάστημα υπολογίζουμε την παράσταση:

όπου το i δείχνει τον αριθμό των ζευγών που ανήκουν στο διάστημα. Το ημιμεταβλητόγραμμα σχεδιάζεται με βάση τις τιμές της ενώ το κάθε διάστημα [h1κh2κ] αντιπροσωπεύεται από την τιμή (h2κ-h1κ)/2.

Συνοπτικά οι διαφορές παραλλαγές της μεθόδου Kriging είναι:Ordinary-simple kriging. Η πλέον διαδεδομένη μορφή, έχει τις παρακάτω παραδοχές: (α) η μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή, (β) η εκτίμηση είναι αμερόληπτη, (γ) μονιμότητα δευτέρου βαθμού, (δ1) ο τοπικός μέσος είναι γνωστός (simple), (δ2) ο τοπικός μέσος είναι άγνωστος (ordinary).Neighborhood kriging. Αν και η τοπική μέση τιμή και διασπορά είναι σταθερές σε όλη την περιοχή (υποθέσεις μονιμότητας και ισότροπου πεδίου), στις περισσότερες εφαρμογές τα δεδομένα περιέχουν τοπικές διακυμάνσεις. Για το λόγο αυτό στην εκτίμηση της άγνωστης τιμής συμμετέχουν τα κοντινότερα σημεία ή αυτά που περιλαμβάνονται στη γύρω περιοχή.Block kriging. Αντιμετωπίζει την ολοκλήρωση των εκτιμημένων τιμών σε μεγαλύτερες περιοχές.Universal kriging. Εφαρμόζεται στην περίπτωση που τα δεδομένα περιέχουν τάση (trend).

• Disjunctive kriging. Υπολογίζει για κάθε εκτίμηση και την πιθανότητα η αληθινή τιμή να υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο κατώφλι.
• Cokriging. Η εκτίμηση με το κανονικό Kriging βελτιώνεται σημαντικά όταν η μεταβλητή που εξετάζεται συνδέεται με κάποια άλλη μεταβλητή για την οποία υπάρχουν μετρήσεις.
• Space time kriging. Σχετίζεται με την εισαγωγή της χρονικής διάστασης των δεδομένων.